Franko Klisović rođen je u Šibeniku, gdje je završio osnovnu i srednju Glazbenu školu Ivana Lukačića u klasi prof. Gordane Pavić, odjel za klavir i teoriju glazbe. U rodnom gradu djelovao je kao orguljaš u katedrali sv. Jakova. Nakon mature upisuje Muzičku akademiju u Zagrebu, studij dirigiranja u klasi Tomislava Fačinija, te je trenutno na završnoj godini studija. Dirigentski debi ostvario je u ožujku 2019. godine ravnajući izvedbom Mozartove opere Così fan tutte, a iste godine dirigirao je i premijerom mjuzikla Šuma Striborova u Zagrebačkom gradskom kazalištu Komedija. U svibnju 2021. godine je kao pomoćni dirigent ravnao izvedbom Massenetove Pepeljuge.

Krajem 2015. počinje se baviti pjevanjem te već nakon samo tri mjeseca dobiva ulogu Ottonea u Händelovoj operi Agrippina, s kojom je u travnju 2016. godine debitirao u Hrvatskom narodnom kazalištu u Zagrebu. Nedugo nakon toga uz studij dirigiranja na Muzičkoj akademiji u Zagrebu upisuje i studij pjevanja u klasi prof. Martine Gojčete Silić. Ove će sezone diplomirati ulogom Smetona u Donizettijevoj operi Anna Bolena u Hrvatskom narodnom kazalištu Ivana pl. Zajca u Rijeci.

U veljači 2017. godine je na poziv Katarskog filharmonijskog orkestra nastupio u dvorani Katara u Dohi. U HNK Ivana pl. Zajca u Rijeci debitirao je u ulozi Duha u Purcellovoj operi Didona i Eneja, a također je utjelovio Eneju i Čarobnicu na glazbenom festivalu Musica appassionata i Korčulanskom baroknom festivalu. U sezoni 2020./2021. u Rijeci je utjelovio Nirena u Händelovoj operi Julije Cezar u Egiptu, a u istoj produkciji je 2022. nastupio na Opernom festivalu u Savonlinni u Finskoj. U veljači 2023. nastupa u ulozi Odiseja u produkciji Corsellijevog Ahileja na Skiru madridskog Teatra Real. U travnju 2023. ostvaruje svoj njemački debi u ulozi Ottonea u Krunidbi Popeje u operi Wuppertal, dok na Glazbenom festivalu u Znojmu u srpnju 2023. tumači Marsa u La Concordia de Pianeti, kao i cijelu sljedeću sezonu u Heidelberškom kazalištu.

Franko Klisović osvojio je brojne nagrade na međunarodnim pjevačkim natjecanjima, među ostalim treću nagradu i nagradu publike na 4. međunarodnom pjevačkom natjecanju Fondacije Premiere Opera u New Yorku 2020., prvu nagradu na Pjevačkom natjecanju Tullio Serafin u Vicenzi 2021. i ulogu Farnacea u Mozartovoj operi Mitridate, re di Ponto, s kojom je debitirao u Teatru Olimpico u rujnu 2021., zatim drugu nagradu na 27. natjecanju mladih opernih pjevača Riccardo Zandonai u Rivi del Garda 2021., drugu nagradu i nagradu za najljepšu izvedbu pjesme Ružičky na 24. pjevačkom natjecanju Mikulaš Schneider-Trnavsky u Trnavi 2021. te drugu nagradu za operu i prvu nagradu za sakralnu glazbu na 4. međunarodnom pjevačkom natjecanju San Colombano u Piacenzi 2021. Također je jedan od pobjednika internetskog dijela Međunarodnog pjevačkog natjecanja Aria Borealis u norveškom Bodøu 2022. godine i dobitnik nagrade Mahler na Međunarodnom pjevačkom natjecanju Gabriela Beñačková u Jihlavi 2022.

Pored opere, Klisović često nastupa kao koncertni solist i solist u oratorijima (La caduta di Adamo i Dixit Dominus B. Galuppija, Večernja Blažene Djevice Marije C. Monteverdija, Mesija i Trijumf Vremena i Trezvenosti G. F. Händela, Te Deum i Misa za osam glasova M. A. Charpentiera, Stabat Mater G. B. Pergolesija, Gloria A. Vivaldija, Muka po Ivanu, Muka po Mateju, Muka po Marku i Magnificat J. S. Bacha, Carmina Burana Carla Orffa uz proslavljenu sopranisticu Sumi Jo, Chichesterski psalmi L. Bernsteina, Te Deum A. Brucknera itd.). Od sezone 2015./2016. redovno nastupa s vokalnim ansamblom Antiphonus, Zborom Hrvatske Radiotelevizije i Hrvatskim baroknim ansamblom. Surađuje s poznatim dirigentima kao što su Marc Korovich, Ville Matvejeff, Laurence Cummings, Aapo Häkkinen, Luca Oberti, Albrecht Hansjörg, Hervè Niquet, Philipp von Steinaecker, Richard Rosemberg i drugi.